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Maxther

Théorie du chaos, effet papillon et prédictibilité

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Prédire l'avenir, quel rêve fantastique... C'est ce que la science s'efforce de faire, et elle le fait très bien, dans la mesure du possible. Prédire l'avenir, c'est prouver que l'on comprend les lois de la Nature, mais l'Univers est imprévisible et empreint de chaos. Quelle confiance doit-on alors placer dans les prédictions de la science ? Je vous propose une plongée (en surface néanmoins) dans la Théorie du Chaos, théorie aussi essentielle pour la Science qu'inspirante pour les Arts.

 

La Théorie du Chaos

"Donc, au commencement, fut Chaos"

Hésiode, Théogonie

 

chaos.png

Scène de l'hélicoptère (rendu artistique)
Ian Malcolm, chaotitcien, ne comprends pas qu'on n'aie
jamais entendu parler de la théorie du chaos.
Jurassic Park - Steven Spielberg (1993)

 

Sommaire

 
 
 
 
 
 
 

Cet article a pour objectif de saisir les concepts majeurs de cette théorie, et comment elle ouvre des pistes de réflexion pour notre propre perception de la science. A travers cet article nous n’effleurerons qu'une toute partie des immenses travaux qu'on réalisé les scientifiques qui vont être cités ici.

 

 

 

Laplace%2C_Pierre-Simon%2C_marquis_de.jp
Le marquis Pierre-Simon de
Laplace, gravure de
James Posselwhite

Introduction - Le déterminisme

Prédire l'avenir nécessite de se placer dans un cadre déterministe, c'est à dire que la connaissance des propriétés (position, vitesse) d'un système à un instant donné et des lois physiques qui s'appliquent sur ce système permettent de prédire exactement l'état du système à n'importe quel instant futur. Pierre-Simon de Laplace décrit un "démon" qui est capable de connaître avec une précision infinie la position de chaque particule de l'univers ainsi que les lois qui  le  régissent avec exactitude ; ce démon est alors capable de prédire parfaitement l'Avenir.

 

 

 

 

"Nous devons donc envisager l’état présent de l’Univers comme l’effet de son état
antérieur et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui, pour un instant
donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée, et la situation respective
des êtres qui la composent, si d’ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces
données à l’Analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands
corps de l’univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle et
l’avenir, comme le passé serait présent à ses yeux."


Laplace, Essai philosophique sur les probabilités

 

L'entièreté de la physique repose sur ce principe, sauf que les conditions initiales sont toujours mesurées avec une certaine incertitude de mesure ; cela engendre une certaine erreur quand on calcule l'état futur. C'est ce qu'on appelle la propagation des incertitudes, c'est-à-dire que l'erreur de mesure se propage au sein des calculs et donne une erreur, ou "barre d'erreur" finale. (Attention ce n'est pas forcément une propagation temporelle, ça peut être aussi bien la propagation de l'incertitude quand on fait plusieurs calculs successifs, pour déduire plusieurs grandeurs physiques d'une même mesure).


Exemple : Je mesure un objet qui est à 1 km de moi (plus ou moins 10 mètres) et qui décolle du sol à 20 km/h (plus ou moins 1 km/h) (parce que je le mesure avec une caméra qui a une certaine résolution etc...), donc je peux calculer que, disons, dans 20 secondes il retombera à tel ou tel endroit (plus ou moins quelque chose). Ensuite je peux mesurer si effectivement l'objet est retombé comme je l'avait prédit, si ou,i cela voudra dire que la théorie que j'ai utilisée pour décrire la physique de l'objet est correcte.

 

On voit que c'est un problème propre à la physique appliquée. Evidemment en physique théorique cela n'intervient pas puisque les calculs sont exacts. Tout le travail de la physique expérimentale est d'utiliser des mesures qui, elles, ne seront jamais exactes, et donc de déterminer le niveau de confiance (si ça vous rappelle la météo ce n'est pas anodin) que l'on a dans les mesures. Si la taille d'un astéroïde est de10 mètres de diamètre, c'est bien, mais si l'imprécision est donnée à plus ou moins 1 km, la mesure va directement à la poubelle car elle est inexploitable.

Les systèmes simples propagent les incertitudes de façon simple, si on mesure avec une erreur de 10% au début, alors on prédit un résultat qui sera exact avec une erreur elle aussi de 10% (propagation constante).

En général quand on parle d'évolution temporelle, la propagation se fait au moins linéairement, c'est à dire que chaque unité de temps qui passe ajoute une barre d'erreur.
Exemple : on mesure les paramètres du système avec une précision de 1% et on veut déterminer l'évolution de ce système dans le temps, et bien on prédira l'évolution au bout d'un heure avec une précision de 2%, au bout de 2h avec une précision de 3%, au bout de 3h avec une précision de 4% etc...

 

L'explication, c'est que le niveau de confiance dans la prédiction qui diminue au cours du temps ;  ceci permet de modéliser plusieurs choses : le fait que la mesure initiale n'est pas exacte, le fait que d'autres paramètres entrent en jeu dans l'expérience au cours du temps, le fait que la théorie avec laquelle on décrit le système est incomplète (et donc la mesure va s'écarter progressivement de la théorie) (par exemple pour calculer la lune autour de la terre on ne prend pas en compte l'influence de Jupiter, si on la prenait en compte on aurait déjà des calculs plus fiables, et encore plus si on prend toutes les planètes etc...)

 

Exemple :

image.png
Les deux trajectoires s'éloignent régulièrement l'une de
l'autre à cause de l'écart initial dû à l'erreur de mesure.
Le système est linéaire.

Pour bien comprendre, prenons un objet qui est lancé dans l'espace, et qui décrit donc une ligne droite. Connaissant la vitesse de l'objet et l'angle avec lequel il a été lancé, on peut facilement déterminer l'endroit où il sera au cours du temps : il n'y a qu'a suivre la ligne droite.

Maintenant, imaginons que la mesure de l'angle avec lequel l'objet est lancé soit imprécise : on le mesure au degré près. Disons qu'on mesure l'angle à 30° par rapport à une référence ; cela veut dire que la vraie valeur de l'angle se situe entre 29° et 31°. Imaginons que la vraie valeur de l'angle soit de 30,5°.

Lorsque qu'on calcule la trajectoire, on utilise la mesure que l'on a : 30°. Disons qu'on calcule qu'au bout de 10 secondes l'objet devra se trouver à 10 mètres (il va à 10 m/s donc). Sauf que, comme la vraie valeur de l'angle est 30,5°, lorsqu'on mesurera la position de l'objet, il se trouvera 4 centimètres à côté de ce que l'on avait calculé avec une valeur de 30°. Au bout de 100 secondes, la vraie position de l'objet sera 40 cm à côté de la position calculée et ainsi de suite.

Ici l'erreur de mesure initiale se propage linéairement au cours du temps : on ajoute 4 cm d'erreur toutes les 10 secondes.

 

Révélation

La formule pour calculer l'erreur commise s'écrit :

err=0,4\cdot t

où t est le temps en secondes. Le résultat donne l'écart en centimètre.

 

 

Le Chaos

Un système est dit "chaotique" quand il propage les incertitudes de manière exponentielle. Si dans les exemples précédents on ajoutait simplement 1% toutes les heures, ou 4 cm toutes les dix (secondes (donc l'erreur croit proportionnellement avec le temps), ici l'erreur croît exponentiellement avec le temps. (Pour les informaticiens, on peut comparer ça à la complexité algorithmique).

Pour chipoter, en réalité, on détermine si un système est chaotique si "l'exposant de Lyapunov" de ce système est positif (du nom du mathématicien du même nom), mais cela ne nous importe pas pour comprendre.

 

Exemple :

image.png
Les deux trajectoires s'éloignent radicalement l'une de l'autre.
L'erreur de prédiction croît exponentiellement.
Le système est chaotique, et sensible aux conditions initiales.

Pour bien comprendre ce qu'est une propagation exponentielle, reprenons l'exemple de notre objet qui se déplace. Mais cette fois-ci il ne va plus en ligne droite, mais il est par exemple soumis à des forces physiques plus complexes, ou bien le modèle mathématique utilisé pour décrire le mouvement est moins complet.

L'objet va toujours à 10 m/s et on fait toujours une erreur de 0,5° en mesurant l'angle, et on suppose aussi qu'au bout de 10 secondes l'erreur soit toujours de 4 cm comme avant. Voyons ce qu'il se passe :

La différence ici c'est que si l'on a une propagation exponentielle, l'erreur au bout de 10 secondes est la même que pour une propagation linéaire, mais au bout de 20 seconde elle ne sera plus de 8 cm (puis-qu’avant on ajoutait 4 cm toutes les 10 secondes), mais elle sera de 24 cm. Continuons donc : au bout de 30 secondes, l'objet ne sera pas 12 cm à côté de la prédiction, mais à 124 cm, ça commence à se voir. Au bout de 100 secondes, si l'erreur était de 40 cm, elle est maintenant de 97 kilomètres !

On voit bien le problème que cela représente : l'objet n'a parcouru que 100 mètres et l'erreur de prédiction est de 97 kilomètres. Le calcul est donc inutilisable.

Révélation

La formule pour calculer l'erreur commise s'écrit :

(5^{0,1})^{t}-1

où t est le temps en secondes. Le résultat donne l'écart en centimètre.

 

droplet.png
Ian Malcolm expliquant à Ellie Sattler le concept de sensibilité aux
conditions initiales dans Jurassic Park :

                                         "Disons qu'une goutte d'eau tombe sur votre main,
                                                         dans quel sens va rouler cette goutte ?"

C'est cela une propagation exponentielle des erreurs. Quand un système se comporte comme cela (et est donc chaotique) cela veut dire que la moindre erreur de mesure sur les conditions initiales (ici un demi degré sur la mesure d'un angle !) est fatale. C'est ce qu'on appelle, assez littéralement, le phénomène de sensibilité aux conditions initiales.

Dit autrement, un même système chaotique, mis dans deux conditions initiales très légèrement différentes donnera des résultats qui divergeront exponentiellement l'un de l'autre. Le système est alors imprévisible du fait que l'on fera toujours une erreur entre la mesure de ces conditions initiales et la valeur réelle.

La seule solution pour prédire l'état d'un système chaotique serait de pouvoir mesurer avec une précision parfaite ; à ce moment, la prédiction sera donc exacte (mais cela ne change pas la nature chaotique du système).

 

 

Ce qui rend un système chaotique imprévisible, c'est le fait que l'erreur dépasse les 100% (ou un autre seuil), et ceci dans un temps relativement court. Dans notre exemple, c'est autour de 54 secondes, c'est-à-dire que en 54 secondes l'objet a parcouru 54 mètres, mais l'erreur de prédiction passe au dessus des 54 mètres elle-même ! Cependant il est à noter que ce temps peut varier selon l'échelle du système, les systèmes plus stables et/ou mieux décrits par la théorie (mais néanmoins chaotiques) vont pouvoir être prévisible sur une plus grande période. A l'inverse les systèmes moins stables seront bien moins prévisibles

Cet instant au delà duquel l'erreur dans la prédiction dépasse le seuil qu'on s'est fixé, c'est ce qu'on appelle l'horizon des événements ou "horizon de Lyapunov".

Révélation

Remarque :

Dans notre exemple précédent (le premier avec la propagation linéaire) il n'y a tout simplement pas d'horizon des événements : au bout de 100 secondes, l'erreur est de 40 centimètres, mais ce n'est pas grand chose comparé à la position que l'on mesure (et prédit) qui est de 100 mètres ; au bout de 1000 secondes l'erreur est de 4 mètres, mais là aussi comparé à la mesure de 1 kilomètre ce n'est pas contraignant, et ainsi de suite. Jamais la mesure ne sera faussée par une incertitude trop grande sur la précision.

C'est la différence avec l'imprédictibilité des systèmes chaotiques.

 

L'Univers entier est chaotique (L'Univers n'est que Chaos si vous vous sentez l'âme poétique). Ou alors il faudrait avoir accès à une théorie du Tout, d'avoir accès à  la position et à la vitesse exactes de chaque particule de l'univers, et d'avoir une puissance de calcul infinie (en d'autres termes : être le Démon de Laplace) ;  l'univers sera toujours chaotique, mais prévisible. De ce fait, l'Avenir ne pourra être prédit que localement et sur une durée relativement courte.

 

 

Première conclusion - Le Chaos Déterministe

Une chose importante à remarquer et à retenir, c'est la compatibilité entre la notion d'imprédictibilité, et donc de hasard avec la notion de déterminisme. Une erreur largement commise (et même par certains scientifiques !) est de penser que la mécanique quantique et son approche probabiliste est incompatible avec le déterminisme. En effet le principe de la mécanique quantique est de s'appuyer sur les probabilités : l'état d'une particule par exemple sera toujours aléatoire d'après la description quantique. En bref, une des bases de la mécanique quantique est de montrer qu'on ne pourra jamais, peut importe notre niveau technologique, faire de mesure exacte.

Si vous avez bien suivi vous comprenez maintenant que la mécanique quantique ne fait que nous indiquer qu'une mesure exacte ne sera pas possible, mais ne contredit pas le fait que si on avait possibilité de faire cette mesure exacte on pourrait prédire exactement l'Avenir. Et la théorie du chaos nous le fait bien visualiser.

On parle alors de "Chaos déterministe"

 

 

Quelques exemples concrets

Double_pendule_(simulation_Algodoo%C2%A9
          Animation montrant le mouvement de deux
            pendules doubles. Les deux pendules sont
          lâchés simultanément avec une toute petite
                                                différence de position.
                          Si au début, les pendules semblent
      synchronisés, remarquez que leur mouvement
               devient totalement différent au bout d'un
                                                                       moment.

Le système chaotique le plus simple, c'est le double pendule. C'est très simple, seulement une barre qui pivote autour d'un axe, et une deuxième barre qui pivote par rapport à la première ; l'animation ci-contre devrait être suffisamment parlante.

Le modèle mathématique qui décrit le mouvement de ce pendule est exact. Mais pour calculer le mouvement de ce pendule dans le temps, vous devez mesurer la position du pendule immobile à un instant donné (au début, avant de le lâcher), vous avez alors une valeur à rentrer dans les équations et donc vous avez l'évolution exacte du pendule au cours du temps.

Maintenant vous lâchez le pendule et très rapidement ce que vous observez s'éloigne totalement du calcul que vous avez fait ; la différence (l'erreur) est tellement grande, et de manière tellement rapide,  que vous pouvez jeter votre calcul théorique. Il ne sert à rien.

Cela vient du fait que la position que vous avez mesurée au début, et donc celle que vous avez rentrée dans le calcul, n'était pas exactement la position réelle. Si vous aviez rentré la valeur strictement exacte dans le calcul, alors le pendule aurait suivi exactement votre prédiction.

Le fait que ce soit chaotique, ce n'est pas que le mouvement fasse n'importe quoi (ce serait une signification commune du mot "chaotique"  - synonyme de "erratique" -  et bien sûr c'est de là que vient le nom de la théorie) ; ce qui fait que ce soit chaotique, c'est que pour arriver à rendre exacte la prédiction sur le long terme, il faut augmenter la précision de mesure de manière exponentielle. Si vous mesurez le pendule au millimètre près, les calculs ne collent plus au bout d'une demi-seconde. Pour que ça colle jusqu'à seulement une minute, il faudrait (ce ne sont pas les chiffres exacts, mais c'est l'idée) mesurer la position jusqu'à l'atome près. Et comme on est limité dans nos mesures de toutes façons par l'inégalité d'Heisenberg, on ne pourra pas dépasser les deux minutes en termes de prédiction.

 

Un deuxième exemple que l'on peut citer est celui de notre système solaire. Le système solaire est chaotique lui aussi ! La différence, c'est que c'est un système beaucoup plus stable (dans le sens de moins erratique), autrement dit son échelle de temps d'évolution est beaucoup plus longue. En effet son horizon de Lyapunov est de 50 millions d'années. Si l'on fait une erreur sur la mesure de la position de Mars aujourd'hui, l'erreur se propagera toujours exponentiellement, mais notre prédiction sera juste pour les 50 prochains millions d'années avant que la réalité ne soit complètement différente de la prédiction. C'est donc amplement suffisant pour l'utilisation que l'on en fait.

 

La météorologie , on y vient à la fin, est chaotique. Dans ce cas l'imprévisibilité n'est non pas causée par les erreurs de mesure (elles interviennent mais en partie seulement), mais majoritairement par les erreurs de calculs ! Un ordinateur n'a pas une précision infinie pour faire ses calculs et ses prédictions. C'est pour cela qu'avec les premiers modèles météorologiques on pouvait prédire le temps pour le lendemain. Aujourd'hui avec les supercalculateurs on a accès à beaucoup, beaucoup, beaucoup plus de précision disponibles pour nos calculs, et on peut avoir des prédictions qui peuvent rester justes jusqu'à... une semaine. Rappelez-vous, pour augmenter la justesse de la prédiction on doit augmenter exponentiellement la précision.

C'est une des différences avec le climat. Pour le climat, le système étudié est l'atmosphère globale, qui se comporte différemment et est décrite par des modèles différents que pour l'atmosphère locale, qui est la météo. Dans l'optique de notre sujet, l'horizon des événements du climat est bien plus large que celui de la météo, c'est pourquoi on peut prédire l'état du climat à l'échelle des décennies et du siècle, mais pas la météo, ce sont deux systèmes chaotiques, mais deux systèmes différents.

 

 

Théorie du Chaos

On pourrait penser que jusqu'à présent on a juste décrit ce qu'était le chaos, et que nous n'avons pas parlé de la "théorie du chaos" en elle-même. C'est plus subtil que cela : la description de ce qu'est le chaos représente la majorité de la théorie. Nous allons ici expliquer ce que l'on peut faire face à l'imprédictibilité du chaos. Si vous avez tout compris jusqu'à présent c'est le principal, on va rentrer (un tout petit peu je rassure) dans plus de détails.

Révélation

Le cœur de la théorie  est établi depuis la fin du XIX° siècle grâce à des scientifiques comme Poincaré, ou Lyapunov (dont on a déjà évoqué le nom), et cela concerne donc toute la description du chaos ; mais on ne parle alors que de "stabilité des systèmes", et ces travaux donnent naissance à tout le bagage mathématique nécessaire à la théorie du chaos en physique, mais sans presque aucun aspect expérimental. Ce n'est qu'avec l'avènement de l'informatique dans les années 60-70 que ces théories mathématiques trouvent enfin des applications physiques. Si l'on ajoute ceci à ce que l'on va voir ci-dessous, on parle alors depuis cette époque de "théorie du chaos" en tant que tel.

 

Il nous faut préciser que dans tout ce qui précède, on a parlé de systèmes physiques. En réalité, l'aspect chaotique n'est propre qu'à des systèmes purement mathématiques. Un système physique qui est chaotique, est en réalité un système physique dont les mathématiques qui le décrivent sont, elles, chaotiques. C'est pour cela que la théorie du chaos est bien une théorie mathématique, plus que physique.

 

La théorie du chaos en elle-même, consiste à trouver des aspects prévisibles aux systèmes chaotiques (trouver l'harmonie dans le chaos si vous avez toujours l'âme poétique, mais c'est la même chose au fond). Pour cela on utilise ce qu'on appelle en physique l'espace des phases.

  • Version scientifique : on représente en deux ou trois dimensions (et donc sur des axes différents) certains paramètres du système en fonction d'autres paramètres du même système, et non plus simplement la position en fonction du temps par exemple.
  • Si vous avez toujours l'âme poétique : on change simplement notre manière de voire les choses, on adopte un autre point de vue et le système parait beaucoup plus harmonieux. La même technique est utilisée par certains artistes en sculpture comme sur cette vidéo. On change ses axes et on voit mieux les choses.

Il faut préciser que cette technique de changement d'espace mathématique n'est pas propre du tout à la théorie du chaos ("changer son point de vue" c'est ce qu'on fait pour la diagonalisation des matrices par exemple on change de coordonnées/d'axes), mais elle y est utile.

Pour bien comprendre, prenons une fois de plus un exemple, le plus célèbre, dans la partie suivante.

 

L'Effet Papillon

Résultat de recherche d'images pour "Edward N. Lorenz"
Edward N. Lorenz pour sa
récompense au prix de Kyoto
en 1991

Introduction

Edward Lorenz est l'un des pères de la théorie du chaos. C'était un météorologue américain, né en 1917 et mort en 2008 pour situer l'époque (voir l'encart précédent).

Avant les années 60, la météorologie se résumait à faire des prédictions purement qualitatives et basées sur l'expérience d'une part, et d'autre part d'essayer d'appliquer les équations de la mécanique des fluides à l'atmosphère locale (notez qu'on ne parle pas de climat ici, qui est un système global et dont l'étude se fait à long terme, nous y reviendrons dans cet article). Tout le problème des équations de la mécanique des fluides, c'est qu'elles sont très loin d'être simples. Aujourd'hui on arrive à faire des choses avancées avec nos ordinateurs, mais à l'époque l'enjeu était de simplifier ces équations pour les rendre utilisables par les ordinateurs de l'époque.

 

 

Le système de Lorenz

C'est ce que fait Lorenz. Il s'intéresse notamment au phénomène de convection de Rayleigh-Bénard, qui décrit (en partie seulement) les interactions entre l'océan et l'atmosphère (qui est vous l'aurez compris une petite partie simplifiée du modèle global que l'on pourrait obtenir avec la mécanique des fluides). On ne va bien entendu pas rentrer dans les détails de ce phénomène, ce n'est pas le sujet.

Lorenz simplifie encore ces équations (pour donner une idée d'à quel point le système peut être simplifié sans pour autant qu'il soit réellement simple), et il obtient trois équations mathématiques, qui sont assez simples et qui ne comportent que trois paramètres (grossièrement un paramètre décrivant le mouvement des fluides, et deux décrivant la température).

Révélation

Ces équations simplifiées s'écrivent :

\large \left\{\begin{matrix} \frac{dx}{dt}=\sigma [y(t)-x(t)]\\ \frac{dy}{dt}=\rho x(t)-y(t)-x(t)\cdot z(t)\\ \frac{dz}{dt}=x(t)\cdot y(t)-\beta z(t) \end{matrix}\right.

 

A l'aide d'un ordinateur et de quelques compétences algorithmiques, on peut calculer l'évolution des valeurs de ces paramètres en fonction du temps (par exemple la température en fonction du temps). C'est ce que faisait Lorenz avec son LGP-30, ordinateur conçu en 1956 (et avec évidemment beaucoup plus de patience). Une anecdote raconte qu'il faisait ses calculs avec 6 chiffres après la virgule, et qu'un jour pris de fainéantise, il fit ses calculs avec seulement trois chiffres après la virgule. Ce à quoi il s'attendait, c'est que les résultats soient certes différents, mais juste un peu moins précis. En réalité les calculs furent radicalement différents, et ce juste pour une imprécision sur plusieurs chiffres après la virgule.

C'est ce dernier point qui nous intéresse, qu'une petite différence à peine 4 chiffres après la virgule donne des résultats complètement différents : la sensibilité aux conditions initiales. Et on voit par ailleurs qu'il n'y a rien de physique là dedans, le chaos est déjà présent juste dans les calculs mathématiques.

 

Voyons cela concrètement. Comme on l'a dit plus haut l'un des paramètres est lié à la température : \large z. Disons donc que \large z représente la température au cours du temps : quand t=10 et z=50 par exemple, cela veut dire qu'au bout de 10 secondes, la température vaut 50 degrés (peut importe l'unité, vous l'aurez compris ce sont les écarts de valeurs qui vont nous intéresser). En exécutant le calcul, on peut alors tracer l'évolution de la température du système en fonction du temps. Résultat :

image.png

Notez la pertinence du mot "chaos". Notez aussi que vous voyez la variation de température sur une durée totale de 2 minutes seulement. A titre d'information pour la suite : au début de l'expérience la température est de 20°, et au bout, par exemple de 20 secondes, elle est de 31°.

Maintenant testons la nature chaotique de ce système : ne commençons plus avec 20°C au début, mais avec 20,001° et voyons ce que ce millième de degré en trop provoque. Après avoir lancé le calcul on obtient un graphique similaire, tout aussi immonde.

En commençant à 20° la température affiche 31° au bout de 20 secondes comme on l'a dit. Mais en commençant 1 millième de degré au dessus, donc à 20,001°, la température affiche 59° au bout de 20 secondes. On voit ici que le résultat de l'évolution de la température au bout de 20 secondes est radicalement différent alors qu'on a changé une valeur trois chiffres après la virgule.

Ici, prédire la température est équivalent à prédire le mouvement d'une balle très rebondissante dans une boîte fermée. Evidemment ici on le rappelle c'est purement mathématique, il est impensable de transposer cela en une quelconque prédiction physique.

Avec ce système, Lorenz prouva au début des années 60 que la météorologie était bien un système chaotique, comme Poincaré l'avait envisagé quelques décennies auparavant. Il n'était donc pas étonnant alors que la météo soit si dure à prévoir, et le soit toujours aujourd'hui, malgré notre technologie.

 

Espace des phases

Appliquons maintenant la théorie du chaos. Au lieu de représenter sur un graphique le temps sur un axe et la température sur l'autre comme on l'a fait avant, utilisons l'espace des phases : on trace en 3D avec trois axes représentant les trois paramètres x, y et z. C'est pratique car ces trois paramètres peuvent s'assimiler par analogie à la position d'un objet : x, y et z (largeur, longueur, hauteur).

Pour comprendre la suite, considérons que les équations données décrivent effectivement le mouvement d'un objet dans l'espace (x,y,z) en fonction du temps (t), sans se préoccuper alors des forces physiques qui pourraient provoquer un tel mouvement. (Pour mettre tout le monde au niveau si on a les valeurs des paramètres t=10, x=1, y=2 et z=3, cela veut dire qu'à 10 secondes à compter du début, l'objet se situe 1 mètre à droite, 2 mètres devant et 3 mètres en haut.)

La courbe que l'on va obtenir par le calcul sera alors la trajectoire de cet objet dans l'espace. Comme on procède ici par analogie, et qu'en réalité ce n'est pas la position que l'on mesure mais des températures et des mouvements de fluides, cette trajectoire n'a rien de concrètement réel, mais on parle alors de trajectoire dans l'espace des phases.

On place l'objet à 20 mètres à droite, 20 mètres devant, et à 20 mètres d'altitude (x=20, y=20, z=20) (remarquez qu'on garde z=20 comme avant, ici cela ne représente plus alors 20 degrés mais 20 mètres). Ensuite, on lâche cet objet et on trace sa trajectoire. Admirez le résultat :

image.png

.

A_Trajectory_Through_Phase_Space_in_a_Lo
Animation 3D du point se
déplaçant le long de sa trajectoire
dans l'espace des phases.
On visualise bien qu'une
petite différence de trajectoire
peut faire passer le point
d'une aile à l'autre.

Voyez ces courbes harmonieuses et dansantes ; ne dirait-on pas une sorte de papillon, avec ses deux ailes rondes ? Si vous avez suivi, ceci ne rend pas le système prévisible, mais met en évidence une structure relativement régulière. Donc si l'on fait démarrer l'objet un millimètre à côté, les valeurs au cours du temps seront radicalement différentes ; mais même si les valeurs sont différentes et imprévisibles, l'objet décrira toujours ce même joli dessin de papillon.

Arrêtons notre analogie, et revenons au système physique (avec les températures etc.). La température, on l'a vu, comme les deux autres paramètres, évolue, on peut le dire, n'importe comment (revoyez le premier graphique, on dirait juste du bruit), tout comme notre double pendule. Et là, par une simple technique mathématique qui est simplement de représenter, non pas la valeur du paramètre en fonction du temps (ce qui a une signification physique concrète), mais de représenter les paramètres sur différents axes, les uns en fonction des autres dans l'espace des phases, on obtient quelque chose d'harmonieux. L'Harmonie cachée dans le Chaos.

C'est un très gros apport puisque sur le graphique au dessus, ou sur l'animation ci-contre, on peut au moins voir que les valeurs des 3 paramètres tendent à se concentrer, à s'enrouler dans deux zones bien visibles (les deux structures en tourbillon, les deux ailes du papillon), on peut alors, toujours dans l'idée, délimiter les valeurs de ces paramètres. Cependant on voit toujours, comme sur l'animation, que le point se déplace d'un tourbillon à l'autre (d'une aile du papillon à l'autre) de manière erratique et imprévisible.

File:Portrait David 2009.jpg
                    David Ruelle en 2009

Ce genre de structure graphique obtenue dans l'espace des phases des systèmes chaotiques est appelée attracteur étrange. C'est le nom que leur a donné David Ruelle mathématicien et physicien franco-belge, et père de la théorie du chaos lui aussi. "Attracteur", car le système (la trajectoire) semble être attiré, amené inévitablement à s'enrouler autour de cette structure, peu importe les conditions initiales (et vous l'aurez compris, c'est un bénéfice). "Étrange" car il dénote de cette harmonie, de cet ordre qui surgit au beau milieu du chaos.

 

 

Pour expliquer le concept de sensibilité aux conditions initiales, Lorenz s'inspire de la forme de son attracteur étrange pour donner son nom à l'Effet Papillon.  L'effet papillon devient célèbre en 1972 lorsque Lorenz donne une conférence devant l'Association Américaine pour le Progrès des Sciences. Cette conférence avait pour titre, maintenant devenu célèbre :

 

Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set off a Tornado in Texas?

Prédictibilité : le battement d'ailes d'un papillon au Brésil peut-il provoquer une tornade au Texas ? 

 

Vous l'aurez compris, la réponse à cette question est oui. L'Univers est chaotique, le papillon peut tout à fait provoquer une tornade, ou pas. David Ruelle aime prendre un autre exemple, encore pire : l'influence d'un électron à l'autre bout de l'univers observable ! Supposons que l'information se déplace instantanément : nous avons un certain mouvement dans l'atmosphère au dessus de nous (vent, température, etc.) qui influe sur la météo ; imaginons que l'on supprime cet électron ; Ruelle a calculé que l'influence de cette disparition donnerait une différence, certes négligeable, mais néanmoins mesurable en seulement quelques dizaines de minutes ! La métaphore du papillon est en réalité bien plus qu'une métaphore, c'est presque un euphémisme !

 

Conclusion générale

Il est temps de conclure notre dossier. De manière générale, la théorie du chaos est l'un des trois piliers de la science de l'Univers (et indirectement toutes les autres sciences qui en découlent). Les deux autres piliers sont la Relativité Générale d'Einstein, qui décrit l'espace, le temps, et les mouvements dans l'Univers ; le Modèle Standard des Particules/La Mécanique Quantique qui décrit le reste, c'est-à-dire les interactions fondamentales et la dynamiques des objets dans l'univers. Ceci permet de rappeler la première conclusion importante que nous avons déjà évoqué plus haut, à savoir la compatibilité entre la nature déterministe de l'univers et l'approche strictement probabiliste de la mécanique quantique.

De ces deux piliers découlent le reste des théories de la physique, de la chimie et du reste des sciences qui décrit alors tout ce qu'il se passe dans le monde (de manière de plus en plus implicite évidemment).

La Théorie du Chaos, on l'a vu, propose surtout une description et un axe de réflexion sur notre propre perception de la science expérimentale par rapport à la science théorique. Autrement dit, l'écart qu'il y aura toujours entre la redoutable efficacité de nos théories scientifiques, et la raisonnable inefficacité de ces mêmes théories. La Théorie du Chaos nous indique ce qui fonctionnera, et ce qui ne fonctionnera pas.

 

C'est le véritable moteur d'évolution de notre science : la connaissance ne peut être que croissante. Si vous avez toujours l'âme poétique, finissons sur une méta-analogie :

 

 

L'ignorance est le Chaos, la Science consiste à y déterrer l'Harmonie,

comme l'on déterre un fossile de dinosaure...

 

 

 

 


POUR ALLER PLUS LOIN :

Cet article ne serait rien sans David Ruelle, et son excellent travail de vulgarisation. Je recommande la lecture de son livre :

"Hasard et Chaos" D. Ruelle. Paris, éd. Odile Jacob, 1991

Ce livre est extrêmement complet, et parmi les nombreux sujets abordés on y retrouve notamment notre première conclusion sur le rapport entre le probabilisme et le déterminisme.

 

 

L'extrait dont on a parlé du film Jurassic Park où Ian Malcolm illustre très bien le phénomène de sensibilité aux conditions initiales :

 

 

Dr Nozman nous parle du double pendule dans sa vidéo dédiée. Elle est pertinente pour voir l'expérience en vrai, et non plus via des simulations.

 

 

 

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